※심사평 : 현계룡(제주사대부고 교사/ 제주특별자치도논술교육연구회)

[수리문제]

▶문제 1

길이가 2km인 신소재로 만든 다리 위를 자동차가 달리고 있다. 자동차는 분당 1km씩 일정한 속도로 달려간다. 이 자동차는 방향을 바꾸는 일도 없고 멈추는 일도 없다고 하자. 아무런 변화가 없다면 자동차는 신소재로 만든 다리 한 쪽 끝에서 출발하여 달리면 2분 후에는 신소재로 만든 다리 반대편에 도달 할 수 있을 것이다.

그런데 이 신소재로 만든 다리는 정확히 1분이 되는 순간 1km씩 늘어난다. 즉, 처음 신소재로 만든 다리의 길이는 2km인데 정확히 1분이 되는 순간 순간적으로 1km가 늘어나 3km가 되고, 2분이 되는 순간 4km가 된다. 이 신소재로 만든 다리는 전체적으로 동일한 비율로 늘어나며 신소재로 만든 다리가 가늘어져서 늘릴 수 없다거나 끊어지는 경우도 없다고 한다. 다음 물음에 답하여라.

(1) 이 자동차가 한 쪽 끝에서 출발하여 반대편 끝까지 도달하는 것이 가능한지에 대해 설명하여라.

(2) 신소재로 만든 다리의 길이가 매 분 두 배씩 늘어나는 경우 즉, 정확히 1분 되는 순간 4km, 2분이 되는 순간 8km, 3분 되는 순간 16km로 늘어날 때, 자동차가 한 쪽 끝에서 출발하여 반대편 끝까지 도달하는 것이 가능한지에 대해 설명하여라.

▶문제 2

인간이 화석 연료 사용량이 많아지면서 많은 양의 이산화탄소를 배출하고 있다. 화석 연료가 연소될 때만 이산화탄소가 배출되는 것이 아니라 열대림이 파괴될 때에도 이산화탄소가 배출된다고 한다.

지구는 매년 일정량의 열대림이 파괴되고 있으며 열대림이 파괴될 때마다 이산화탄소가 배출된다고 한다. 대기 중으로 배출된 이산화탄소는 남아있는 열대림이 일정량을 흡수한다.



▶문제 3

구멍이 뚫린 빈 물통과 줄이 있다고 한다. 빈 물통의 무게는 4kg이고 줄의 무게는 1m 당 0.2kg이다. 그리고 빈 통에 물을 가득 채우면 15kg의 물을 담을 수 있다고 한다. 10m 높이의 건물에서 물을 가득 채운 물통을 일정한 속도로 끌어올린다. 이 때, 물통에서의 물은 6m의 높이에 도달할 때까지 일정한 속도로 물을 뿌려서 없어지도록 했다. 10m 높이까지 끌어올렸을 경우에 물과 물통 및 줄을 끌어올리는 데 한 일의 양을 구하는 방법에 대하여 설명하고 한 일의 양을 구하여라.

※ 유의사항 : 표, 그래프, 도형 등을 사용하여 답안을 작성할 수 있습니다.

[예시답안]

▶문제 1. 속도와 움직인 거리

(1) 1분 후 자동차는 출발점에서 1km 떨어진 위치를 달리고 있을 것이다. 그 순간 신소재로 만든 다리는 1km 더 늘어나 3km가 된다. 신소재로 만든 다리는 동일한 비율로 늘어나므로 자동차는 출발점에서 1.5km되는 위치에 있게 되고, 남은 거리도 1.5km가 될 것이다. 출발 2분 후 자동차는 출발점에서 2.5km 되는 지점까지 달리게 되고 그 순간 다시 신소재로 만든 다리는 1km 더 늘어나 3km가 된다. 출발점에서 2.5km, 반대편까지 0.5km에 해당하는 위치에서 신소재로 만든 다리는 일정한 비율로 늘어나기 때문에 자동차는 출발점으로부터 5/2+5/6=10/3km 위치에 있게 되고, 남은 거리는 1/2+1/6=2/3km가 될 것이다. 남은 거리가 1km가 안되므로 또 다시 다리가 늘어나기 전에 자동차는 반대편에 도달해 있을 것이다.

(2) 1분 후 자동차는 출발점에서 1km의 위치에 있게 되고, 남은 거리도 1km가 될 것이다. 이 순간 신소재로 만든 다리의 길이가 두 배로 늘어나므로 남은 거리는 2km가 될 것이다. 출발 후 2분이 되면 자동차는 출발점에서 3km, 목표지점 1km전에 위치하게 되고 그 순간 신소재로 만든 다리의 길이가 두 배로 늘어나므로 남은 거리가 또 다시 2km가 될 것이다. 결국 1분 되는 순간 마다 신소재로 만든 다리의 길이가 두 배로 늘어나게 되면 자동차는 반대편에 도달할 수 없을 것이다.

▶문제 2. 지수함수와 등비수열의 활용



그런데 열대림을 파괴하지 않는다면 열대림은 매년 이산화탄소를 10억톤씩 흡수할 것이므로 50년 동안 5백톤을 흡수할 것이다. 따라서 열대림의 파괴로 흡수하지 못하는 양은 1백억톤이다.

따라서 열대림의 파괴가 이산화탄소의 증가에 미치는 실질적인 영향은 배출량 6백억톤과 흡수하지 못하는 양 1백억톤을 합하여 7백억톤이다.

▶문제 3 적분의 활용



[수리과학 최우수작(수리논술)]제주중앙여고 3년 김진영

▶문제 1

(1) 이 자동차가 달려간 거리와 다리 길이의 비율은 n분일 때 (n:자연수) n/n+2이 된다.



n/n+2=1 즉, n이 무한대로 발산할 때, 값이 1에 수렴한다. 두 길이의 비율이 1이라는 말은 두 길이가 일치함을 의미한다. 따라서 이 자동차가 한 쪽 끝에서 출발하여 반대편 끝까지 도달하는 것은 가능하다.

(2) (1)의 경우와 마찬가지로 n분일 때, 자동차가 달려간 거리와 다리 길이의 비율을 n에 관한 식으로 나타내면 n/2이 된다.

n/2= 1/2×1n2=∞ 즉, 시간이 길어질수록 자동차가 달린 거리에 대한 다리 거리의 비율이 매우 커지게 된다.

따라서 신소재로 만든 다리의 길이가 매 분 두 배씩 늘어나는 경우, 자동차가 한 쪽 끝에서 출발하여 반대편 끝까지 도달하는 것은 불가능하다.

▶문제 2

이 열대림은 넓이가 1000만ha일 때 탄소량을 기준으로 CO2의 배출량은 약 15억 톤이고, 방출된 CO2를 열대림이 흡수하는 양은 약 10억톤이므로 연간 순 방출량은 5억톤이다.

현재 100,000만 ha의 열대림이 있으므로 올해의 순 방출량은 억톤이다. 마찬가지로 내년에는 100,000만×0.99ha의 열대림이 있으므로 내년의 CO2 순 방출량은 (5×100,000만×0.99) 억톤이다. 이와 같은 방법으로 향후 50년간 CO2의 순방출량을 계산해보면, (5×100,000만×0.99)+(5×100,000만)×(0.99)2+…+5×100,000만×(0.99) =500×(1-(0.99) )=500×(1-0.6)=20,000억톤이다.

따라서 현재부터 향후 50년 동안 열대림 파괴로 인한 CO2의 순방출량은 2조톤이다. 이산화탄소의 증가로 인한 환경문제는 매우 심각하므로 우리는 마구잡이식 열대림파괴를 줄이고 보호해 나가야 할 것이다.

▶문제 3

물통의 물 15kg은 6m의 높이에 도달할 때까지 일정한 속도로 없어지므로 높이 hm일 때, 물통의 무게는 5/2hkg씩 감소한다. 또한 줄은 처음 길이를 10m로 놓고 당기기 시작하는 것이므로 hm높이만큼 당겨질 때마다 줄의 무게는 1/5hkg씩 감소한다.

0≤x≤6일 때, 줄과 물통과 물의 무게의 총합은 (2-0.2h)+4+(15-5/2h)=(11-27/10h)kg이고, 6≤h≤10일 때의 무게의 총합은 (2-1/5h)+4+(6-1/5h)kg이다

물과 물통 및 줄을 끌어올리는데 한 일의 양은 0에서 10까지 적분한 값에 중력가속도를 곱해준 값(아래 박스 참조)이 된다.문제의 핵심을 정확하게 파악하지 못한 답안지가 많았고, 수리논술을 아직도 수학 문제 푸는 것과 동일하다고 여기는 학생들이 많았다.

수리 1번 문제는 속도와 거리에 관한 문제로, 고등학생이면 누구나 풀 수 있는 문제 유형이다. 질문의 핵심인 "신소재로 만들어진 다리가 일정한 시간이 될 때마다 순간적으로 전체가 일정한 비율로 늘어난다."는 뜻을 정확하게 이해하지 못하고 답안을 쓴 학생이 많았다. 수리 2번 문제는 지수함수와 등비수열을 활용한 문제로 학생들이 가장 많이 접하는 수학 문제 유형이다. 질문의 핵심이 "열대림의 파괴로 인하여 향후 50년 동안 이산화탄소의 증가에 미치는 실질적인 영향에 대하여 설명하여라."인데 대부분의 학생들이 단순히 이산화탄소의 양을 계산하는 선에서 끝맺음 한 것이 아쉬웠다. 출제 의도는 '열대림이 파괴되지 않았을 때 50년 후의 이산화탄소의 양'과 '현재 상태로 열대림이 파괴되었을 때 이산화탄소의 양'을 비교하여 자신의 의견을 말하는 것을 원하는 문제였다. 수리 3번 문제는 적분을 활용한 문제 유형으로 과학(물리) 교과와 관련된 실생활 문제인데 통합교과적인 문제라 그런지 학생들이 가장 어려워했다.

두 문제까지는 정확하게 이해한 학생들이 몇 명 있었으나, 세 문제 모두를 정확하게 이해한 학생이 없었다는 것이 아쉬웠다.

수리 논술은 일반적인 수학 문제풀이처럼 간단하게 수식으로 답을 쓰면 안된다. 학생들은 앞으로 수리논술 답안을 작성할 때, 정답을 맞히기보다는 답을 얻는 과정을 논리적인 문장으로 써야 한다는 점을 명심하길 바란다.